-------------------------------------------------------------------------------------------------
Ini
adalah posting pertama saya dalam pembuktian rumus, pertama-tama saya
coba dulu pembuktian yang sederhana ya, kalo yang rumit-rumit bisa sih,
tapi agak susah postingnya ke blog. Yap, pada kesempatan kali ini saya
akan membuktikan rumus phytagoras, saya akan membuktikan rumusnya, plus
memberitau kalian mengenai asal muasal "Bapak Pencipta Rumus
Phytagoras". Phytagoras atau disebut Πυθαγόρας
dalam bahasa yunani merupakan Ilmuan matematika ternama & filusuf
yunani yang telah menciptakan rumus menemukan sisi miring pada segitiga
siku-siku. Walaupun saat ini teorematersebut telah berkembang pesat
semenjak adanya trigonometri, namun teorema Phytagoras ini tetap
merupakan dasar dari sekitar 80% keseluruhan teorema segitiga yang ada.
Teorema Phytagoras ditemukan pada abad ke 6SM, Phytagoras hidup pada
tahun 582SM sampai 496SM dan telah berhasil membuktikan bahwa kuadrat
sisi miring segitiga siku-siku merupakan jumlah kuadrat total dari
sisi-sisi segitiga lainnya. Walaupun memang teorema ini telah diketahui
sebelum phytagoras lahir, namun Phytagoras dapat membuktikan teorema ini
secara matematis. Phytagoras dan muridnya/pengikutnya percaya bahwa
segala sesuatu di alam berhubungan dengan matematika, seperti: pola,
rasio,dll. Hingga sekarang, teorema segitiga ini diterima dan secara
matematis ditulis sebagai: c²=a²+b²
dengan "c" adalah sisi miring segitiga. Phytagoras tersebut membuktikan
teorema tersebut dangan menggabung 4 segitiga sebangun seperti pada
gambar berikut:
gambar
disamping merupakan gambar penggabungan 4 segitiga sebangun yang
sisinya sama, setelah penggabungan tersebut, dapat ditemukan 2 persegi,
yaitu persegi beser dengan sisi "a+b" dan persegi kecil dengan sisi "c"
dari gambar disamping, phytagoras mencoba mencari luas area persegi
dengan sisi "c". Ada 2 cara menghitung luas persegi kecil tersebut,
yaitu dengan mencari luas persegi kecil secara langsung dan dengan
mencari luas persegi besar terlebih dahulu, lalu dikurang dengan luas 4
segitiga siku-siku abc. Telah diketahui bahwa luas segitiga siku-siku
adalah "½(alas x tinggi)" dan luas persegi adalah "sisi²" dari konsep tersebut, telah didapatkan 3 persamaan matematika, yaitu: Luas Persgi Kecil=c²
; Luas persegi besar= (a+b)² ; Luas segitiga: ½(ab). Tak hanya berhenti
sampai disana, Luas Persegi kecil juga dapat dicari jika Luas Persegi Besar dan Luas Segitiga telah diketahui. Yaitu dengan mengurangkan luas persegi besar dengan 4 kali luas segitiga. secara matematis ditulis: Luas Persegi Kecil=(a+b)²-4[½(ab)]. Dapat
dilihat (Yang telah diBold) bahwa ada 2 persamaan dalam mencari luas
persegi kecil, kedua persamaan tersebut dapat digabung atau disubtitusikan menjadi satu persamaan: c²=(a+b)²-4[½(ab)] kemudian disederhanakan dengan proses aljabar:
-------------------------------------------------------------------------------------------------
c²=(a+b)²-4[½(ab)]
c²=(a+b)²-2(ab)
c²=(a+b)(a+b)-2(ab)
c²=a²+2(ab)+b²-2(ab)
c²=a²+b²+[2(ab)-2(ab)]
c²=a²+b²+0
c²=a²+b²
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Sehingga terbuktilah bahwa kuadrat sisi miring (c²) merupakan jumlah kuadrat total dari sisi-sisi segitiga lainnya (a²+b²).
Mudah bukan? Cara diatas memang merupakan alternatif termudah dalam membuktikan rumus phytagoras (bahkan phytagoras membuktikan dalil tersebut dengan cara demikian),
namun, jika dipikir lebih mendalam, banyak cara lain untuk
membuktikannya, seperti menggunakan lingkaran luar segitiga siku-siku,
gabungan tiga segitiga, trapesium, trigonometri, dan banyak lagi. Memang
tak ada waktu untu memosting semua cara tersebut, namun, saya akan
memasukkan salah satu cara yang agak mirip dengan cara diatas, yaitu
dengan membelah gambar diatas menjadi dua bagian:
.png)
bagian
yang bewarna kelabu dihilangkan sehingga akan ditemukan 2 segitiga
sebangun dan 1 segitiga sama kaki, dari potongan gambar tersebut nilai c
juga dapat dicari, mamun agak ribed, tapi bagi yang haus akan
pengetahuan tentu akan penasaran dan ingin tau khan? Yap, kali ini akan
saya eksprimenkan 1 pembuktian lagi, namun untuk pembuktian dengan cara
yang lain akan saya post pada lain kesempatan. Kembali ke persamaan,
dari gambar disamping dapat diciptakan persamaan Phytagoras. Langkah
pertama adalah dengan mengubah gambar tersebut menjadi lebih mudah kita
pahami, caranya adalah dengan memberikan beberapa garis bantu yang
nantinya akan dijadikan patokan dalam elemen-elemen pembuatan rumus
phytagoras, setelah gambar sedikit "dimodif" akan seperti dibawah ini:
.png)
Dari gambar disamping, kita dapat mengetahui bahwa panjang BC=DE=BO; AB=CD; AC=CE; DB=DO. Akan Dibuktikan bahwa AC²=AB²+BC² (Rumus Phytagoras). Hampir sama Dengan yang tadi, akan dicari nilai AC dengan cara mencari luas segitiga bewarna merah ACE, Luas segitiga tersebut adalah: ½AC²,
tidak hanya itu, luas segitiga tersebut juga bisa didapat dari dengan
menggunakan sedikit keahlian geometri, caranya adalah dengan
menjumlahkan dan mengurangkan komponen kuas. [Luas segitiga AOE + Luas
Segi Empat EDBO] - [Luas segitiga CDE + Luas Segitiga ABC]. Pertama-tama
kita cari masing-masing komponen luas:
- Luas Segitiga AOE= ½(AO.EO); karena "AO=AB-DE" dan "EO=BD=BC+CD", maka Luas Segitiga AOE=½[(AB-DE).(BC+CD)].
- Luas Segi Empat EDBO=DE.BD; karena "BD=BC+CD", maka Luas Segi Empat EDBO=DE.(BC+CD).
- Luas Segitiga CDE=½(DE.CD)
- Luas Segitiga ABC=½(AB.BC)
-------------------------------------------------------------------------------------------------
[½.(AB-DE).(BC+CD)]+DE.(BC+CD)-[½(DE.CD)+½(AB.BC)]
-------------Karena DE=BC; CD=AB; Maka luas segitiga ACE:-------------
[½.(AB-BC).(BC+AB)]+BC.(BC+AB)-[½(BC.AB)+½(AB.BC)]
[½.(AB-BC).(BC+AB)]+BC.(BC+AB)-[½(AB.BC)+½(AB.BC)]
[½.(AB-BC).(BC+AB)]+BC.(BC+AB)-[(½+½)(AB.BC)]
[½.(AB-BC).(BC+AB)]+BC.(BC+AB)-[1(AB.BC)]
[½.(AB-BC).(BC+AB)]+BC.(BC+AB)-(AB.BC)
[(½AB-½BC).(BC+AB)]+BC.(BC+AB)-(AB.BC)
[(½AB-½BC).(BC+AB)]+[BC.(BC+AB)-(AB.BC)]
[(½AB-½BC).(BC+AB)]+[BC.(BC+AB)-(BC.AB)]
[(½AB-½BC).(BC+AB)]+[BC.(BC+AB-AB)]
[(½AB-½BC).(BC+AB)]+[BC.(BC+0)]
[(½AB-½BC).(BC+AB)]+(BC.BC)
[(½AB-½BC).(BC+AB)]+BC²
[½AB.(BC+AB)-½BC.(BC+AB)]+BC²
[½AB.(BC+AB)+BC²]-½BC.(BC+AB)
[BC²+½AB.(BC+AB)]-½BC.(BC+AB)
[BC²-½BC.(BC+AB)]+½AB.(BC+AB)
[BC²-½BC²-½AB.BC]+½AB.(BC+AB)
[(BC²-½BC²)-½AB.BC]+½AB.(BC+AB)
[(1-½)BC²-½AB.BC]+½AB.(BC+AB)
[½BC²-½AB.BC]+½AB.(BC+AB)
[½BC²-½AB.BC]+[½AB.(BC+AB)]
[½BC²-½AB.BC]+[½AB.BC+½AB.AB]
[½BC²-½AB.BC]+[½AB.BC+½AB²]
[½BC²-½AB.BC+½AB.BC+½AB²]
[½BC²+½AB.BC-½AB.BC+½AB²]
[½BC²+(½-½)AB.BC+½AB²]
[½BC²+0AB.BC+½AB²]
[½BC²+0+½AB²]
[½BC²+½AB²]
½BC²+½AB²
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Sehingga
Luas Segitiga ACE Adalah [½BC²+½AB²], namun, ingatkah kalian bahwa luas
segitiga ACE juga adalah ½AC²? (Telah dibold diatas), jadi kita tinggal
menyatukan kedua persamaan tersebut menjadi 1 persamaan dengan
menggunakan subtitusi. maka akan didapat 1 persamaan sederhana sebagai berikut:
-------------------------------------------------------------------------------------------------
- Luas Segitiga ACE=½AC²
- Luas Segitiga ACE=[½BC²+½AB²]
maka:
[½BC²+½AB²]=½AC²
2[½BC²+½AB²]=2[½AC²]
(2.½)BC²+(2.½)AB²=(2.½)AC²
1BC²+1AB²=1AC²
BC²+AB²=AC²
AC²=BC²+AB²
AC²=AB²+BC²
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Sehingga
didapat bahwa AC²=AB²+BC² seperti yang akan dibuktikan, kaerna Segitiga
ABC Siku-siku di B, maka panjang AC adalah Sisi miring. Sekali lagi,
terbuktilah dalil pythagoras yang mengatakan bahwa sisi miring (AC²)
merupakan jumlah kuadrat total dari sisi-sisi segitiga lainnya
(AB²+BC²).
Terbukti, tetapi agak lebih ribed dari sebelumnya khan???
Nah
masih banyak pembuktian-pembuktian yang caranya lebih rumit dari yang
baru dibahas di posting kali ini, namun, jika itu dimasukkan, rasanya
percuma dan hanya membuang-buang energy saja, jika sudah tau yang mudah & praktis, buat apa belajar yang susah. tetapi ada baiknya juga tau dan berlatih.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar